Question

15．在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，连接AC，求证：CA平分∠BCD．

Answer 1

分析 过A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，则四边形AECF是矩形，求出∠FAD=∠BAE，根据AAS证△AEB≌△AFD，得出AE=AF，证出四边形AECF是正方形，即可得出结论．

解答 证明：过A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，如图所示：
则∠AEB=∠AEC=∠AFD=90°，
∵∠BAD=∠BCD=90°，
∴四边形AECF是矩形，
∴∠FAE=90°=∠BAD，
∴∠FAD=∠BAE=90°-∠EAD，
在△AEB和△AFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠FAD}\\{∠AEB=∠F}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△AEB≌△AFD（AAS），
∴AE=AF，
∴四边形AECF是正方形，
∴∠ACB=∠ACD=45°，
∴AC平分∠BCD．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质，熟练掌握正方形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．