Question

17．如图1，过边长为3的正方形ABCD的点A作直线交CD和CB延长线于点E、F，设DE=x，BF=y．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）若△EFC的面积为$\frac{75}{4}$，求FC的长；
（3）如图2，$\frac{EG}{AG}$=2，若CG⊥EF，求BF的长．

Answer 1

分析 （1）先判断出△ADE∽△FBA，得出$\frac{AD}{FC}=\frac{DE}{CE}$，代值化简即可得出函数关系式，
（2）用（1）的结论和直角三角形的面积公式建立方程求解即可得出结论；
（3）先求出CH，进而判断出△CHG∽△FBA得出$\frac{CH}{BF}=\frac{HG}{AB}$即：2y=x+9结合（1）的结论即可得出结论．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE=∠F，
∵∠ADE=∠FBA，
∴△ADE∽△FBA，
∴$\frac{AD}{FC}=\frac{DE}{CE}$，
∵CE=CD+DE=3+x，FC=FB+BC=3+y，
∴$\frac{3}{y+3}=\frac{x}{x+3}$，
∴y=$\frac{9}{x}$，
（2）由（1）知，y=$\frac{9}{x}$，
∴x=$\frac{9}{y}$，
∵△EFC的面积为$\frac{75}{4}$，
∴$\frac{1}{2}$FC×EC=$\frac{1}{2}$（y+3）（x+3）=$\frac{75}{4}$，
∴$\frac{1}{2}$（y+3）（$\frac{9}{y}$+3）=$\frac{75}{4}$，
∴y=2或y=$\frac{9}{2}$，
∴FC=FB+BC=y+3=5或$\frac{15}{2}$．
（3）如图2，过点G作GH∥BC，
∴GH∥AD，
∴△EGH∽△EAD，
∴$\frac{EG}{AE}=\frac{GH}{AD}$，
∴$\frac{EG}{AG}=\frac{GH}{GH-AD}$，
∵$\frac{EG}{AG}$=2，AD=3，∴GH=2，
∵∠EGH=∠F，
∵CG⊥EF，
∴∠EGD+∠CGH=90°，
∴∠F+∠CGH=90°，
∵∠F+∠BAF=90°
∴∠BAF=∠CGH，
∵∠ABF=∠CDG，
∴△CHG∽△FBA，
∴$\frac{CH}{BF}=\frac{HG}{AB}$，
∴$\frac{3+\frac{x}{3}}{y}=\frac{2}{3}$，
∴2y=x+9，
∵x=$\frac{9}{y}$，
∴2y=$\frac{9}{y}$+9，
∴2y²-9y-9=0，
∴y=$\frac{9-\sqrt{153}}{4}$（舍）或y=$\frac{9+\sqrt{153}}{4}$
∴BF=y=$\frac{9+\sqrt{153}}{4}$．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，同角的余角相等，直角三角形的性质，三角形的面积公式，解本题的关键是判断出△CHG∽△FBA．