Question

5．如图，在△ABC中，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，∠B=30°，∠C=50°．
（1）求∠DAE的度数；
（2）试写出∠DAE与∠C、∠B之间的数量关系（不必说明理由）．

Answer 1

分析 （1）由AD是BC边上的高可得出∠ADE=90°，在△ABC中利用三角形内角和定理可求出∠BAC的度数，由角平分线的定义可求出∠BAE的度数，再根据三角形外角的性质可求出∠AED的度数，在△ADE中利用三角形内角和定理可求出∠DAE的度数；
（2）∠DAE=$\frac{1}{2}$（∠C-∠B），理由同（1）．

解答 解：（1）∵AD是BC边上的高，
∴∠ADE=90°．
∵∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=100°．
∵AE是∠BAC平分线，
∴∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=50°，
∴∠AED=∠B+∠BAE=30°+50°=80°．
∵∠ADE+∠AED+∠DAE=180°，
∴∠DAE=180°-∠ADE-∠AED=180°-90°-80°=10°．
（2）∠DAE=$\frac{1}{2}$（∠C-∠B），理由如下：
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADE=90°．
∵∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C．
∵AE是∠BAC平分线，
∴∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=90°-$\frac{1}{2}$（∠B+∠C），
∴∠AED=∠B+∠BAE=90°+$\frac{1}{2}$（∠B-∠C）．
∵∠ADE+∠AED+∠DAE=180°，
∴∠DAE=180°-∠ADE-∠AED=180°-90°-[90°+$\frac{1}{2}$（∠B-∠C）]=$\frac{1}{2}$（∠C-∠B）．

点评 本题考查了三角形内角和定理以及三角形外角的性质，解题的关键是：（1）利用三角形外角的性质求出∠AED的度数；（2）重复（1）找出∠DAE=$\frac{1}{2}$（∠C-∠B）．