Question

已知直线l₁：y=kx+b（k≠0）经过点P（m，n），则把点Q（k，b）叫做点P的“和谐点”
（1）若P点坐标（2，4），写出P点的三个“和谐点”的坐标；
（2）判断（1）中得到的三个点能否在同一条直线上，并说明理由；
（3）若点P（2，4）的“和谐点“Q的坐标（m，2012），求m的值．

Answer 1

考点：一次函数图象上点的坐标特征

专题：新定义

分析：（1）先把P点坐标代入y=2x+4得到2k+b=4，然后分别求出k=1、-1、2时对应的k的值，然后根据新定义得到P点的三个“和谐点”的坐标；
（2）利用待定系数法求出经过三个点中两个点的直线解析式，然后判断第三个点的坐标是否满足解析式；
（3）根据新定义把（m，2012）代入2k+b=4即可求出m的值．

解答：解：（1）把P（2，4）代入y=kx+b得2k+b=4，
当k=1时，b=2；当k=-1时，b=6；当k=2时，b=0，
所以P点的三个“和谐点”的坐标为（1，2）、（-1，6）、（2，0）；
（2）在．理由如下：
设经过点（1，2）和（-1，6）的直线解析式为y=mx+n，
根据题意得

m+n=2 -m+n=6

，解得

m=-2 n=4

，
即此直线解析式为y=-2x+4，
当x=2时，y=-2×2+4=0，
所以点（2，0）在直线y=-2x+4上，
即（1）中得到的三个点在同一条直线上；
（3）因为2k+b=4，
把（m，2012）代入得2m+2012=4，解得m=-1004．

点评：本题考查了一函数图象上点的坐标特征：一次函数y=kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（-bk，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b．