Question

5．如图，一次函数y=ax+b的图象与x轴，y轴交于A，B两点，与反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象相交于C，D两点，分别过C，D两点作y轴，x轴的垂线，垂足为E，F，连接CF，DE．有下列四个结论：
①△CEF与△DEF的面积相等；
②△AOB∽△FOE；
③△DCE≌△CDF；
④AC=BD．
其中不正确的结论是③．（把你认为合适的序号填上）．

Answer 1

分析 此题要根据反比例函数的性质进行求解，解决此题的关键是要证出CD∥EF，可从①问的面积相等入手；△DFE中，以DF为底，OF为高，可得S_△DFE=$\frac{1}{2}$|x_D|•|y_D|=$\frac{1}{2}$k，同理可求得△CEF的面积也是$\frac{1}{2}$k，因此两者的面积相等；若两个三角形都以EF为底，那么它们的高相同，即E、F到AD的距离相等，由此可证得CD∥EF，然后根据这个条件来逐一判断各选项的正误．

解答 解：设点D的坐标为（x，$\frac{k}{x}$），则F（x，0）．
由函数的图象可知：x＞0，k＞0．
∴S_△DFE=$\frac{1}{2}$DF•OF=$\frac{1}{2}$|x_D|•|$\frac{k}{{x}_{D}}$|=$\frac{1}{2}$k，
同理可得S_△CEF=$\frac{1}{2}$k，
∴S_△DEF=S_△CEF．故①正确；
若两个三角形以EF为底，则EF边上的高相等，故CD∥EF，
∴△AOB∽△FOE，故②正确；
③条件不足，无法得到判定两三角形全等的条件，故③错误；
④∵CD∥EF，DF∥BE，
∴四边形DBEF是平行四边形，
∴S_△DEF=S_△BED，
同理可得S_△ACF=S_△ECF；
由①得：S_△DBE=S_△ACF．
又∵CD∥EF，BD、AC边上的高相等，
∴BD=AC，故④正确；
故答案为：③．

点评 本题考查的是相似三角形的判定和性质，反比例函数的性质、三角形的面积公式及平行四边形的判定与性质，先根据题意判断出CD∥EF是解答此题的关键．