Question

14．已知抛物线经过点A（-3，0），F（8，0），B（0，4）三点
（1）求抛物线解析式及对称轴；
（2）若点D在线段FB上运动（不与F，B重合），过点D作DC⊥轴于点C（x，0），将△FCD沿CD向左翻折，点B对应点为点E，△CDE与△FBO重叠部分面积为S．
①试求出S与x之间的函数关系式，并写出自变量取值范围．
②是否存在这样的点C，使得△BDE为直角三角形，若存在，求出C点坐标，若不存在，请说明理由；
（3）抛物线对称轴上有一点M，平面内有一点N，若以A，B，M，N四点组成的四边形为菱形，求点N的坐标．

Answer 1

分析 （1）可设抛物线解析式为y=a（x+3）（x-8），将点B（0，4）代入已知抛物线方程，解得a的值即可；
（2）①分两种情况：0＜x＜4；4≤x＜8；进行讨论可求S与x之间的函数关系式；
②分两种情况：当∠BED=90°时；当∠EBD=90°时；进行讨论可求C点坐标；
（3）分两种情况：①以AB为边，以B为圆心，AB为半径画圆交对称轴于M₁，M₂两点；②以AB为对角线；进行讨论可求点N的坐标．

解答 解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+3）（x-8），
将点B（0，4）代入得4=a×（0+3）×（0-8），
解得a=-$\frac{1}{6}$．
故抛物线解析式为y=-$\frac{1}{6}$（x+3）（x-8），
对称轴为x=（-3+8）÷2=$\frac{5}{2}$；

（2）CE=CF=8-x，CD=4-$\frac{1}{2}$x，
①当0＜x＜4时，
S=$\frac{1}{2}$（8-x）（4-$\frac{1}{2}$x）×[1-（$\frac{8-x-x}{8-x}$）²]=-$\frac{3}{4}$x²+4x；
当4≤x＜8时，
S=$\frac{1}{2}$（8-x）（4-$\frac{1}{2}$x）=$\frac{1}{4}$x²-4x+16；
②分两种情况：当∠BED=90°时，△BOE∽△ECD，
∴$\frac{BO}{EO}$=$\frac{EC}{CD}$=2，
∴EC=3，
∴C₁（5，0）；
当∠EBD=90°时；
△EOB∽△BOF，
∴$\frac{BO}{EO}$=$\frac{EC}{CD}$=2，
∴EO=2，
∴EC=$\frac{2+8}{2}$=5，
∴C₂（3，0）；

（3）①以AB为边，以B为圆心，AB为半径画圆交对称轴于M₁，M₂两点，
M₁I=$\sqrt{{5}^{2}-（\frac{5}{2}）^{2}}$=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，
由BM₁，平移至AN₁得，N₁（-$\frac{1}{2}$，$\frac{5\sqrt{3}}{2}$），N₂（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{5\sqrt{3}}{2}$），
以A为圆心，AB为半径画圆，此时与对称轴没有交点，故不存在；
②以AB为对角线，直线AB的解析式为：y=$\frac{4}{3}$x+4，
则AB的中垂线MN的解析式为：y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{7}{8}$，
当x=$\frac{5}{2}$时，y=-1，
∴M（$\frac{5}{2}$，-1），
∴N₃（-$\frac{11}{2}$，5）．
综上所述：N₁（-$\frac{1}{2}$，$\frac{5\sqrt{3}}{2}$），N₂（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{5\sqrt{3}}{2}$），N₃（-$\frac{11}{2}$，5）．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式，把求抛物线与一次函数的交点问题转化为解方程的问题；会利用相似比求线段的长；理解坐标与图形性质；会利用分类讨论的思想解决数学问题．