Question

15．已知关于x的一元二次方程x²-（5m+1）x+4m²+m=0．
（1）求证：无论m取任何实数时，原方程总有两个实数根；
（2）如果对于原方程的每一个整数根，都满足两根之商也是整数，直接写出m的取值．

Answer 1

分析 （1）计算判别式的值得到△=（3m+1）²，然后根据非负数的意义得到△≥0，从而根据判别式的意义可判断无论m取任何实数时，原方程总有两个实数根；
（2）利用求根公式法解关于x的一元二次方程 x₁=m，x₂=4m+1，则当$\frac{x_1}{x_2}=\frac{m}{4m+1}$时，m=0；当$\frac{x_2}{x_1}=\frac{4m+1}{m}$，利用整除性得到m=±1．

解答 （1）证明：△=[-（5m+1）]²-4×1×（4m²+m）
=9m²+6m+1
=（3m+1）²，
∵无论m取任何实数时，
∴（3m+1）²≥0，
∴无论m取任何实数时，原方程总有两个实数根；
（2）解：解关于x的一元二次方程x²-（5m+1）x+4m²+m=0得 x₁=m，x₂=4m+1，
∴当$\frac{x_1}{x_2}=\frac{m}{4m+1}$时，m=0；
当$\frac{x_2}{x_1}=\frac{4m+1}{m}$时，$\frac{4m+1}{m}=4+\frac{1}{m}$，所以m=±1
综上所述m=0或m=±1．

点评 本题考查了根的判别式：一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与△=b²-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．