Question

【题目】我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”，例如：如图，四边形是“等对角四边形”，，，，则．

（1）已知：在“等对角四边形”中，，，，，求对角线的长；

（2）已知：如图，在平面直角坐标系中，四边形是“等对角四边形”，其中，，，点在轴上，抛物线过点、，点在抛物线上，满足的点至少有3个时，总有不等式成立，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）或；（2）．

【解析】

（1）①如图1，，AE=8，DE=5，，，即可求解；

②如图2，同理可得，，即可求解；

（2）已知：如图2，在平面直角坐标系xoy中，四边形ABCD是“等对角四边形”，其中A（-2，0），C（2，0），，点D在y轴上，抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）过点A、C，点P在抛物线上，当满足∠APC=∠ADC的P点至少有3个时，总有不等式成立，求n的取值范围．

解：分两种情况讨论：

①如图1，时延长，交于点，

∵，∴，又∵，

∴，，，

，，

；

②如图，时，过分别作于，于点，

∵，又∵，，

，，∴，

，，

；

综上，或；

（2）∵、、，

∴，，，

∴，∴，

∵，，∴，

∵四边形是等对角四边形，

∴，∴

∵抛物线过点、，

∴，

即：，令，

则，

以为圆心，长为半径作⊙，以为圆心，长为半径作⊙，如图所示，⊙交轴正半轴于点，⊙交轴负半轴于点．

当点在优弧和优弧上时，，当抛物线过点时满足题意的点有3个，如图中的、、，

此时，，

当满足的点至少有3个时，，

当时，，

∵总有不等式成立．

∴，

∴．