Question

【题目】在中，，，点是的中点，点是射线上一点，于点，且，连接，作于点，交直线于点．

（1）如图（1），当点在线段上时，判断和的数量关系，并加以证明；

（2）如图（2），当点在线段的延长线上时，问题（1）中的结论是否依然成立？如果成立，请求出当和面积相等时，点与点之间的距离；如果不成立，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1），证明见解析；（2）依然成立，点与点之间的距离为．理由见解析.

【解析】

（1）做辅助线，通过已知条件证得与是等腰直角三角形．证出，利用全等的性质即可得到.

（2）设AH，DF交于点G，可根据ASA证明△FCE≌△HFG，从而得到，当和均为等腰直角三角形当他们面积相等时，．利用勾股定理可以求DE、CE的长，即可求出CE的长，即可求得点与点之间的距离．

（1）

证明：延长交于点

∵在中，，，

∴

∵于点，且，

∴，与是等腰直角三角形．

∴，，，

∴，

∵点是的中点，∴，∴

∴

∵于点，∴，∴

∴

∴

∴；

（2）依然成立

理由：设AH，DF交于点G，

由题意可得出：DF=DE，

∴∠DFE=∠DEF=45°，

∵AC=BC，

∴∠A=∠CBA=45°，

∵DF∥BC，

∴∠CBA=∠FGB=45°，

∴∠FGH=∠CEF=45°，

∵点D为AC的中点,DF∥BC，

∴DG=BC,DC=AC，

∴DG=DC，

∴EC=GF，

∵∠DFC=∠FCB，

∴∠GFH=∠FCE，

在△FCE和△HFG中

，

∴△FCE≌△HFG(ASA)，

∴HF=FC.

由（1）可知和均为等腰直角三角形

当他们面积相等时，．

∴

∴

∴点与点之间的距离为．