Question

4．观察下列等式：
第一个等式：a₁=$\frac{3}{1×2×{2}^{2}}$=$\frac{1}{1×2}$-$\frac{1}{2×{2}^{2}}$；
第二个等式：a₂=$\frac{4}{2×3×{2}^{3}}$=$\frac{1}{2×{2}^{2}}$-$\frac{1}{3×{2}^{3}}$；
第三个等式：a₃=$\frac{5}{3×4×{2}^{4}}$=$\frac{1}{3×{2}^{3}}$-$\frac{1}{4×{2}^{4}}$；
第四个等式：a₄=$\frac{6}{4×5×{2}^{5}}$=$\frac{1}{4×{2}^{4}}$-$\frac{1}{5×{2}^{5}}$．
按上述规律，则式子a₁+a₂+a₃+…+a₂₂的结果为（　　）

• A． $\frac{1}{2}-\frac{1}{{21×{2^{21}}}}$
• B． $\frac{1}{2}-\frac{1}{{22×{2^{22}}}}$
• C． $\frac{1}{2}-\frac{1}{{23×{2^{23}}}}$
• D． $\frac{1}{2}-\frac{1}{{24×{2^{24}}}}$

Answer 1

分析 根据已知的四个等式可以得出数字之间的规律，然后利用规律写出第a₂₂个等式，将这些等式相加发现，除了第一项和最后一项外，其余都可以抵消，进而可以得出答案．

解答 解：观察已知等式：
第一个等式：a₁=$\frac{3}{1×2×{2}^{2}}$=$\frac{1}{1×2}$-$\frac{1}{2×{2}^{2}}$；
第二个等式：a₂=$\frac{4}{2×3×{2}^{3}}$=$\frac{1}{2×{2}^{2}}$-$\frac{1}{3×{2}^{3}}$；
第三个等式：a₃=$\frac{5}{3×4×{2}^{4}}$=$\frac{1}{3×{2}^{3}}$-$\frac{1}{4×{2}^{4}}$；
第四个等式：a₄=$\frac{6}{4×5×{2}^{5}}$=$\frac{1}{4×{2}^{4}}$-$\frac{1}{5×{2}^{5}}$．
得出a₂₂=$\frac{24}{22×23×{2}^{23}}$=$\frac{1}{22×{2}^{22}}$-$\frac{1}{23×{2}^{23}}$
∴a₁+a₂+a₃+…+a₂₂
=$\frac{1}{1×2}$-$\frac{1}{2×{2}^{2}}$+$\frac{1}{2×{2}^{2}}$-$\frac{1}{3×{2}^{3}}$+$\frac{1}{3×{2}^{3}}$-$\frac{1}{4×{2}^{4}}$+…+$\frac{1}{22×{2}^{22}}$-$\frac{1}{23×{2}^{23}}$
=$\frac{1}{1×2}$-$\frac{1}{23×{2}^{23}}$
=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{23×{2}^{23}}$．
故选：C．

点评 题目考查数字的变化规律，根据这些变化规律，写出相应关系式，可以得出相应结论．题目相对简单，但是对于考查学生的观察能力和解决问题能力有很大帮助．