Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，AD平分∠CAB，交BC于D，点P是边AB上的动点（点P与A，B不重合），设PB=x，△DPB的面积为y．
（1）求CD的长；
（2）求y关于x的函数关系式，写出自变量x的范围．

Answer 1

考点：角平分线的性质,函数关系式,勾股定理

专题：

分析：（1）由勾股定理求出AB的长，过点D作DE⊥AB于点E，根据角平分线的性质可知CD=DE，再由三角形的面积公式可得出CD的长；
（2）根据三角形的面积公式即可得出结论．

解答：解：（1）∵在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，
∴AB=

32+42

=5．
过点D作DE⊥AB于点E，
∵AD平分∠CAB，
∴CD=DE．
∵S_△ABC=S_△ACD+S_△ABD，即

1

2

×3×4=

1

2

×4CD+

1

2

×5CD，解得CD=

4

3

；

（2）由（1）知，DE=

4

3

，
∵PB=x，△DPB的面积为y，
∴y=

1

2

PB•DE=

1

2

x×

4

3

=

2

3

x（0＜x≤5）．

点评：本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．