Question

15．如图，AC平分∠BAD，CM⊥AB于M，且AB+AD=2AM，试求∠ADC+∠ABC的度数．

Answer 1

分析 在AB上截取AE=AD，连接CE，作CN⊥AD于N，由角平分线的性质得出CM=CN，再证明△ACE≌△ACD，得出CE=CD，证出CB=CD，然后由HL证明Rt△CDN≌△RtCBM，得出对应角相等∠CDN=∠B，运用平角的定义即可得出结果．

解答 解：在AB上截取AE=AD，连接CE，作CN⊥AD于N，如图所示：
∵AC平分∠BAD，CM⊥AB于M，
∴∠EAC=∠DAC，CM=CN，
在△ACE和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AD}&{\;}\\{∠EAC=∠DAC}&{\;}\\{AC=AC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△ACD（SAS），
∴CE=CD，
∵AB+AD=2AM，
∴AE+BE+AD=2（AE+EM），
∴BE=2EM，
∴EM=BM，
∵CM⊥AB，
∴CB=CE，
∴CB=CD，
在Rt△CDN和△RtCBM中，
$\left\{\begin{array}{l}{CD=CB}&{\;}\\{CN=CM}&{\;}\end{array}\right.$，
∴Rt△CDN≌△RtCBM（HL），
∴∠CDN=∠B，
∵∠ADC+∠CDN=180°，
∴∠ADC+∠B=180°．

点评 本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、平角的定义；本题有一定难度，需要通过作辅助线构造三角形全等才能得出结果．