Question

如图，分别求出半径为R的圆内接正三角形圆内接正方形的周长和面积．

Answer 1

考点：正多边形和圆

专题：

分析：如图1，连接OB、OC，过O作OD⊥AB于D，求出中心角AOB，解直角三角形求出AD和OD，根据垂径定理求出AB，即可得出答案；连接OA、OB、OC，求出中心角COD，根据勾股定理求出CD，即可得出答案．

解答：解：如图1，连接OB、OC，过O作OD⊥AB于D，
∵⊙O是正三角形ABC的外接圆，
∴∠AOB=

360°

3

=120°，
∵OA=OB，
∴∠AOD=∠BOD=60°，
在Rt△ADO中，AO=R，AD=R×sin60°=

3

2

R，OD=Rcos60°=

1

2

R，
∵OD⊥AB，
∴AB=2AD=

3

R，
∴正△ABC的周长是3AB=3

3

R；面积是3×

1

2

AB×OD=3×

1

2

×

3

R×

1

2

R=

3

4

R²；
如图2，连接OA、OB、OD，
∵⊙O是正方形ABCD的外接圆，
∴∠COD=

360°

4

=90°，
∵OD=OC=R，由勾股定理得；CD=

R2+R2

=

2

R，
∴正方形ABCD的周长为4×

2

R=4

2

R，面积为

2

R×

2

R=2R²．

点评：本题考查了正多边形和圆，解直角三角形，正多边形的性质的应用，解此题的关键是求出正多边形的边长，主要考查学生的计算能力，难度适中．