Question

已知二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，且关于x的一元二次方程ax²+bx+c-m=0没有实数根，以下结论：①b²-4ac＞0，②abc＜0，③m＜2，④4a+c＞2b中，正确的个数是（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：二次函数图象与系数的关系

专题：

分析：由图象可知二次函数y=ax²+bx+c与x轴有两个交点，进而判断①；先根据抛物线的开口向下可知a＜0，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，根据对称轴在y轴右侧得出b与0的关系，然后根据有理数乘法法则判断②；一元二次方程ax²+bx+c-m=0没有实数根，则可转化为ax²+bx+c=m，即可以理解为y=ax²+bx+c和y=m没有交点，即可求出m的取值范围，判断③即可．当x=-2时，从图象可得4a-2b+c＜0判定即可．

解答：解：①∵二次函数y=ax²+bx+c与x轴有两个交点，
∴b²-4ac＞0，故①正确；
②∵抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∵对称轴x=-

b

2a

＞0，
∴ab＜0，
∵a＜0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故②正确；
③∵一元二次方程ax²+bx+c-m=0没有实数根，
∴y=ax²+bx+c和y=m没有交点，
由图可得，m＞2，故③错误．
④当x=-2时，从图象可得4a-2b+c＜0，故④错误．
综上所述正确的有①②，共2个．
故选：B．

点评：本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．