Question

12．如图，AB为⊙O的直径，CD切⊙O于点D，AC⊥CD于点C，交⊙O于点E，连接AD、BD、ED．
（1）求证：BD=ED；
（2）若CE=3，CD=4，求AB的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD、OE，由切线的性质可知OD⊥CD，从而可证明AC∥OD，接下来由平行线的性质、等腰三角形的性质可证明∠EOD=∠DOB；
（2）在△CED中依据勾股定理可求得ED的长，从而得到BD的长，接下来证明△ECD∽△BDA，依据相似三角形的性质可求得AB的长．

解答 解：（1）证明：连接OD、OE．

∵CD切⊙O于点D，
∴OD⊥CD．
∵AC⊥CD，
∴OD∥AC．
∴∠EAO=∠DOB，∠AEO=∠EOD．
又∵∠EAO=∠AEO，
∴∠EOD=∠DOB．
∴BD=ED．
（2）∵AC⊥CD，
∴∠ACD=90°
又∵CE=3，CD=4，
∴ED=5．
∵BD=ED，
∴BD=5．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°
∴∠ACD=∠ADB．
∵四边形ABDE内接于⊙O，
∠CED=∠B，
∴△CDE∽△DAB．
∴$\frac{CE}{DB}=\frac{DE}{AB}$．
∴$\frac{3}{5}=\frac{5}{AB}$．
∴AB=$\frac{25}{3}$．

点评 本题主要考查的是切线的性质、相似三角形的性质和判定、平行线的性质，证得OD∥AC、△CDE∽△DAB是解题的关键．