Question

16．将等腰直角△ABC斜放在平面直角坐标系中，使直角顶点C与点（1，0）重合，点A的坐标为（-2，1）．
（1）求△ABC的面积S；
（2）求直线AB与y轴的交点坐标．

Answer 1

分析 （1）过点A作AD⊥x轴，垂足为D，根据A、C两点的坐标可求出AD和DC，根据勾股定理可求出AC²，即可求出等腰直角△ABC的面积；
（2）要求直线AB与y轴的交点坐标，只需求出直线AB的解析式，只需求出点B的坐标，过点B作BE⊥x轴，垂足为E，易证△ADC≌△CEB，即可得到BE和CE，
从而得到点B的坐标，问题得以解决．

解答 解：（1）过点A作AD⊥x轴，垂足为D．
∵C（1，0），A（-2，1），
∴AD=1，DC=1-（-2）=3，
∴AC²=AD²+DC²=10，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC²=5；

（2）过点B作BE⊥x轴，垂足为E，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∴∠CAD+∠ACD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCE+∠ACD=90°，
∴∠CAD=∠BCE．
在△ADC和△CEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADC=∠CEB=90°}\\{∠CAD=∠BCE}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△CEB，
∴CD=BE=3，CE=AD=1，
∴OE=2，
∴点B的坐标为（2，3）．
设直线AB的解析式为y=kx+b，则
$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=3}\\{-2k+b=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴y=$\frac{1}{2}$x+2．
当x=0时，y=2，
∴直线AB交y轴于点（0，2）．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、用待定系数法求一次函数的表达式、直线上点的坐标特征、等腰直角三角形面积公式等知识，构造K型全等是解决第（2）小题的关键．