Question

如图，点E是菱形ABCD对角线AC上的一点，连接BE，DE．
（1）求证：△AEB≌△AED；
（2）延长BE交AD于点F，若DE⊥CD于点D，且sin∠ADE=

1

2

．
①求证：BF⊥AD．
②若EF=1，点P为线段AC上一动点，设AP=a，试问：当a为何值时，△AFP与△ADE相似？

Answer 1

考点：菱形的性质,全等三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）利用菱形的性质得出DE=BE，进而得出△AEB≌△AED；
（2）①利用平行线的性质以及全等三角形的性质得出∠DAB+∠ABF=90°，进而得出答案；
②利用分类讨论得出当△AFP′∽△ADE时，当△AFP∽△AED时，分别求出即可．

解答：（1）证明：连接BD，
∵E是菱形ABCD对角线AC上的一点，
∴AC垂直平分BD，则DE=BE，
在△AEB和△AED中

AB=AD AE=AE BE=DE

，
∴△AEB≌△AED；

（2）①证明：∵DE⊥CD于点D，
∴∠ADE+∠DAB=180°-90°=90°，
∵△AEB≌△AED，
∴∠ABF=∠ADE，
∴∠DAB+∠ABF=90°，
∴BF⊥AD；
②∵sin∠ADE=

1

2

，EF=1，∠DFE=90°，
∴DE=BE=2，∠ADE=30°，
∴∠DAB=60°，
∴DF=AF=

1

2

AD=

3

，
当△AFP∽△AED时，

AF

AE

=

AD

AP

，
∴

3

2

=

2 3

AP

，
解得：AP=4，
当△AFP′∽△ADE时，

AP′

AE

=

AF

AD

，
∴

AP′

2

=

3 2

3

，
解得：AP′=1，
综上所述：当a为1或4时，△AFP与△ADE相似．

点评：此题主要考查了相似三角形的性质和判定以及菱形的性质等知识，利用分类讨论得出是解题关键．