Question

1．设n为自然数，在△ABC内给定n个点．用一些除端点外没有公共点的线段连接这些点及A、B、C，将△ABC分成t个小的三角形．
（1）用含n的代数式表示t；
（2）证明t为定值，与线段的连法无关．

Answer 1

分析 （1）先从n=1，2，3开始数出三角形的个数，进而找出规律即可解答；
（2根据三角形的内角和定理和周角的意义即可得出结论．

解答 解：（1）如图1，

当n=1时，t=3=2×1+1，
如图2，

当n=2时，t=3+2=5=2×2+1，
如图3，

当n=3时，t=5+2=2×3+1，
从n=1，2，3发现没多一个点，就多两个三角形
所以，△ABC内给定n个点时，t=2n+1．
（2）由题设得，t个三角形的内角和tπ，△ABC的内角和π，
以给定的n个点的每个点所构成的周角之和n•2π．
由于t个三角形的内角和等于△ABC的内角和与以n个点的每个点所构成的周角之和，
∴tπ=π+n•2π，
∴t=2n+1．
故结论成立．

点评 此题主要考查了三角形的内角和定理，周角的意义，解（1）的关键是从特殊n=1，2，3时小三角形的个数，找出规律，解（2）的关键是用t个小三角形的内角和等于△ABC的内角和与以n个点的每个点所构成的周角之和建立方程．