Question

3．抛物线C₀的顶点为原点O，且过点G（2，1）．如图，过点P（0，2）分别作两条直线，l₁：y=k₁x+2和l₂：y=k₂x+2（其中k₁•k₂≠0），两直线分别与抛物线、x轴相交于点A、B、E和D、C、F，且M、N分别是AB、CD的中点．
（1）求抛物线C₀的方程；
（2）若l₁⊥l₂，试分别用k₁、k₂表示E、F的坐标，并据此探究k₁、K₂满足的等量关系；
（3）若k₁+k₂=0，AP=2PB，求线MN的长．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线C₀的顶点为原点O，且过点G（2，1），利用待定系数法可求得其解析式；
（2）根据两直线的解析式可求得E、F的坐标，在Rt△PEF中，可证明△POF∽△EOP，则可得到PO²=OE•OF，则可得到k₁、k₂之间的关系；
（3）可设A（a，m），B（b，n），由条件可得到a=-2b，再结合A、B分别在抛物线和直线l₁上，则可得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系，则可求得M点的横坐标，当k₁+k₂=0时，可知两直线关于y轴对称，可知MN⊥y轴，则可求得MN的长．

解答 解：
（1）∵抛物线C₀的顶点为原点O，
∴设抛物线解析式为y=ax²，
把G（2，1）代入得：a=$\frac{1}{4}$，
∴抛物线C₀的解析式为y=$\frac{1}{4}$x²；
（2）在y=k₁x+2中，令y=0，可得x=-$\frac{2}{{k}_{1}}$，
∴E（-$\frac{2}{{k}_{1}}$，0），
则理可求得F（-$\frac{2}{{k}_{2}}$，0），
∵l₁⊥l₂，
∴△POF∽△EOP，
∴$\frac{PO}{OE}$=$\frac{OF}{PO}$，
∴PO²=OE•OF，
不妨设k₁＜0，则k₂＞0，
∴2²=$\frac{2}{{k}_{1}}$•$\frac{2}{{k}_{2}}$，
∴k₁•k₂=-1；
（3）不妨设k₁＜0，设A（a，m），B（b，n），
∵PA=2PB，
∴a=-2b①，
由点A、B分别在抛物线和直线l₁上，联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{4}{x}^{2}}\\{y={k}_{1}x+2}\end{array}\right.$，整理可得x²-4k₁x-8=0，
∴ab=-8②，
由①②可得a=-4，b=2，
∵M为AB的中点，
∴M横坐标为-1，
当k₁+k₂=0时，由（2）可知l₁和l₂关于y轴对称，
∵M、N关于y轴对称，
∴N点横坐标为1，
∴MN=1-（-1）=2．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、相似三角形的判定和性质、一元二次方程根与系数的关系、中点的定义及方程思想等知识．在（1）中注意抛物线解析式的形式，在（2）中利用相似三角形的性质得到k₁、k₂的关系是解题的关键，在（3）中求得M、N的横坐标是解题的关键，注意利用k₁+k₂=0．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．