Question

【题目】在△ABC中，AD为∠BAC的平分线．

（1）如图1，若∠C＝2∠B，AB＝12，AC＝7.2，求线段CD的长度；

（2）如图2，若∠BAC＝2∠ABC，∠ABC的平分线BP与AD交于点P，且BP＝AC，求∠C的度数．

Answer 1

【答案】（1）4.8；（2）60°．

【解析】

（1）在AB上截取AE＝AC，连接DE，易证△ACD≌△AED，然后可推出∠B＝∠BDE，进而得到BE＝DE，再根据BE＝AB﹣AE可得出结果；

（2）过A作AM平分∠BAD交BC于M，由AM平分∠BAD，BP平分∠ABC可∠BAM＝∠DAM＝∠ABP＝∠DBP，然后证明△ABP≌△BAM，得到对应边相等，最后推出△ACM是等边三角形即可得出结果.

解：（1）在AB上截取AE＝AC，连接DE，如图1所示：

∵AD为∠BAC的平分线，

∴∠DAE＝∠DAC，

在△ACD和△AED中，，

∴△ACD≌△AED（SAS），

∴∠C＝∠AED，

∵∠C＝2∠B，

∴∠C＝2∠AED，

∵∠AED＝∠B+∠BDE，

∴∠B+∠BDE＝2∠B，

∴∠B＝∠BDE，

∴BE＝DE，

∵AB＝12，AC＝7.2，

∴BE＝AB﹣AE＝AB﹣AC＝12﹣7.2＝4.8；

（2）过A作AM平分∠BAD交BC于M，如图2所示：

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC，

即∠BAC＝2∠BAD＝2∠CAD，

∵AM平分∠BAD，BP平分∠ABC，

∴∠BAM＝∠DAM＝∠BAD，∠ABP＝∠DBP＝∠ABC，

∵∠BAC＝2∠ABC，

∴∠BAM＝∠DAM＝∠ABP＝∠DBP，

在△ABP和△BAM中，，

∴△ABP≌△BAM（ASA），

∴AM＝BP，

∵AC＝BP，

∴AM＝AC，

∵∠AMC＝∠ABC+∠BAM，∠CAM＝∠CAD+∠DAM，∠ABC＝∠CAD，

∴∠AMC＝∠CAM，

∴AC＝MC，

∴AC＝MC＝AM，

∴△ACM是等边三角形，

∴∠C＝60°．