Question

如图，分别以Rt△ABC的斜边AB，直角边AC为边向外作等边△ABD和△ACE，F为AB的中点，DE，AB相交于点G，若∠BAC=30°，下列结论：其中正
确结论的序号是

 

①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD=4AG；④△DBF≌△EFA．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质,菱形的判定

专题：

分析：由等边三角形的性质及直角三角形的性质就可以得出△ADF≌△BAC，就可以求得四边形ADFE是平行四边形，由破晓四边形的性质而得出EF⊥AC，AD=4AG，就有△DBF≌△EFA．

解答：解：∵△ABD和△ACE都是等边三角形，
∴AD=BD=AB，AE=CE=AC，∠ADB=∠BAD=∠DBA=∠CAE=∠AEC=∠ACE=60°．
∵F是AB的中点，
∴∠BDF=∠ADF=30°，∠DFA=∠DFB=90°，BF=AF=

1

2

AB．
∵∠BAC=30°，∠ACB=90°，AD=2AF．
∴BC=

1

2

AB，∠ADF=∠BAC，
∴AF=BF=BC．
在Rt△ADF和Rt△BAC中

AD=BA AF=BC

，
∴Rt△ADF≌Rt△BAC（HL），
∴DF=AC，
∴AE=AC．
∵∠BAC=30°，
∴∠BAC+∠CAE=∠BAE=90°，
∴∠DFA=∠EAB，
∴DF∥AE，
∴四边形ADFE是平行四边形，故②错误；
∴AD=EF，AD∥EF．
∴∠DAC=∠AHE．
∵∠DAC=∠DAB+∠BAC=90°，
∴∠AHE=90°，
∴EF⊥AC．①正确；
∵四边形ADFE是平行四边形，
∴2GF=2GA=AF．
∴AD=4AG．故③正确．
在Rt△DBF和Rt△EFA中

BD=FE DF=EA

，
∴Rt△DBF≌Rt△EFA（HL）．故④正确，
故答案为：①③④．

点评：本题考查了等边三角形的性质的运用，直角三角形的性质的运用，垂直的判定及性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．