Question

已知，抛物线y=（m+5）x²-（2m-5）x+12与x轴交点的横坐标为直角三角形两锐角正弦值，则两交点的距离为

 

．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：

分析：设一个直角三角形两个锐角为A、B（∠A+∠B=90°），根据根与系数的关系得sinA+sinB=

2m-5

m+5

，sinA•sinB=

12

m+5

，利用互余两角三角函数的关系得到sin²A+sin²B=1，变形得到（sinA+sinB）²-2sinA•sinB=1，所以（

2m-5

m+5

）²-2×

12

m+5

=1．

解答：解：设一个直角三角形两个锐角为A、B（∠A+∠B=90°），
根据题意得sinA+sinB=

2m-5

m+5

，sinA•sinB=

12

m+5

，
∵sin²A+sin²B=1，
∴（sinA+sinB）²-2sinA•sinB=1，即（

2m-5

m+5

）²-2×

12

m+5

=1．
∴（m-20）（m+2）=0
解得，m₁=20，m₂=-2．
经检验，它们都是原方程的解．
①当m₁=20时，

12

m+5

=

12

25

．
（sinA-sinB）²=（sinA+sinB）²-2sinA•sinB-2sinA•sinB=1-2×

12

m+5

=1-2×

12

25

=

1

25

，
则|sinA-sinB|=

1

5

，即两交点的距离为

1

5

；
②当m₂=-2时，

12

m+5

=4．
（sinA-sinB）²=（sinA+sinB）²-4sinA•sinB=1-2×

12

m+5

=1-2×4=-7（不合题意，舍去）；
综上所述，两交点间的距离是

1

5

．
故答案是：

1

5

．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点．解题时，要充分利用关系式：sin²A+sin²B=1．