Question

20．已知，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过原点，顶点为A（h，k）（h≠0）．
（1）当h=1，k=2时，求抛物线的解析式；
（2）若抛物线y=tx²（t≠0）也经过A点，求a与t之间的关系式；
（3）当点A在抛物线y=x²-x上，且-2≤h＜1时，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）用顶点式解决这个问题，设抛物线为y=a（x-1）²+2，原点代入即可．
（2）设抛物线为y=ax²+bx，则h=-$\frac{b}{2a}$，b=-2ah代入抛物线解析式，求出k（用a、h表示），又抛物线y=tx²也经过A（h，k），求出k，列出方程即可解决．
（3）根据条件列出关于a的不等式即可解决问题．

解答 解：（1）∵顶点为A（1，2），设抛物线为y=a（x-1）²+2，
∵抛物线经过原点，
∴0=a（0-1）²+2，
∴a=-2，
∴抛物线解析式为y=-2x²+4x．
（2）∵抛物线经过原点，
∴设抛物线为y=ax²+bx，
∵h=-$\frac{b}{2a}$，
∴b=-2ah，
∴y=ax²-2ahx，
∵顶点A（h，k），
∴k=ah²-2ah²=-ah²，
抛物线y=tx²也经过A（h，k），
∴k=th²，
∴th²=ah²-2ah²，
∴t=-a，
（3）∵点A在抛物线y=x²-x上，
∴k=h²-h，又k=ah²-2ah²，
∴h=$\frac{1}{1+a}$，
∵-2≤h＜1，
∴-2≤$\frac{1}{1+a}$＜1，
①当1+a＞0时，即a＞-1时，$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{1+a}＜1}\\{\frac{1}{1+a}≥-2}\end{array}\right.$，解得a＞0，
②当1+a＜0时，即a＜-1时，$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{1+a}＜1}\\{\frac{1}{1+a}≥-2}\end{array}\right.$解得a≤-$\frac{3}{2}$，
综上所述，a的取值范围a＞0或a≤-$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查二次函数综合题、不等式等知识，解题的关键是学会用参数解决问题，题目比较难参数比较多，第三个问题解不等式要注意讨论，属于中考压轴题．