Question

【题目】如图，⊙O是锐角△ABC的外接圆，FH是⊙O的切线，切点为F，FH∥BC，连结AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连结BF．下列结论：①AF平分∠BAC；②点F为△BDC的外心；③；④若点M，N分别是AB和AF上的动点，则BN+MN的最小值是ABsin∠BAC．其中一定正确的是_____（把你认为正确结论的序号都填上）．

Answer 1

【答案】①②③④

【解析】

如图1，连接OF，CF，通过切线的性质证OF⊥FH，进而由FH∥BC，得OF⊥BC，即可由垂径定理得到F是弧BC的中点，根据圆周角定理可得∠BAF＝∠CAF，可得AF平分∠BAC；由三角形外角性质和同弧所对的圆周角相等可得∠BDF＝∠FBD，可得BF＝DF＝CF，可得点F为△BDC的外心；如图2，过点C作CG∥AB，交AF的延长线于点G，通过证明△BAE∽△CGE，可得，即可判断③；如图3，作点M关于AF的对称点M'，当点N在线段BM'上，且BM'⊥AC时，BN+MN有最小值为BM'，即可判断④．

解：如图1，连接OF，CF，

∵FH是⊙O的切线，

∴OF⊥FH，

∵FH∥BC，

∴OF⊥BC，且OF为半径，

∴OF垂直平分BC，

∴＝，

∴∠1＝∠2，BF＝CF，

∴AF平分∠BAC，故①正确，

∵∠1＝∠2，∠4＝∠3，∠5＝∠2，

∴∠1+∠4＝∠2+∠3，

∴∠1+∠4＝∠5+∠3，

∵∠1+∠4＝∠BDF，∠5+∠3＝∠FBD，

∴∠BDF＝∠FBD，

∴BF＝FD，且BF＝CF，

∴BF＝DF＝CF，

∴点F为△BDC的外心，故②正确；

如图2，过点C作CG∥AB，交AF的延长线于点G，

∵CG∥AB，

∴∠BAE＝∠EGC，且∠BAE＝∠CAE，

∴∠CAE＝∠CGE，

∴AC＝CG，

∵CG∥AB，

∴△BAE∽△CGE，

∴，

∴＝＝，

故③正确；

如图3，作点M关于AF的对称点M'，

∵点M与点M'关于AF对称，

∴MN＝M'N，

∴BN+MN＝BN+M'N，

∴当点N在线段BM'上，且BM'⊥AC时，BN+MN有最小值为BM'，且sin∠BAC＝，

∴BN+MN最小值为ABsin∠BAC，

故④正确，

故答案为：①②③④．