Question

如图，一个半径为r（r＜1）的圆形纸片在边长为10的正六边形内任意运动，则在该六边形内，这个圆形纸片不能接触到的部分的面积是（　　）

• A、πr²
• B、

  3

  4

  r2
• C、2

  3

  r2-πr²
• D、

  3 3

  2

  r2-πr²

Answer 1

考点：正多边形和圆,轨迹

专题：

分析：当⊙O运动到正六边形的角上时，圆与∠ABC两边的切点分别为E，F，连接OE，OF，OB，根据正六边形的性质可知∠ABC=120°，故∠OBF=60°，再由锐角三角函数的定义用r表示出BF的长，可知圆形纸片不能接触到的部分的面积=6×2S_△BOF-S_扇形EOF，由此可得出结论．

解答：解：如图所示，连接OE，OF，OB，
∵此多边形是正六边形，
∴∠ABC=120°，
∴∠OBF=60°．
∵∠OFB=90°，OF=r，
∴BF=

OF

tan60°

=

r

3

=

3 r

3

，
∴圆形纸片不能接触到的部分的面积
=6×2S_△BOF-6S_扇形EOF
=6×2×

1

2

×

3

3

r•r-6×

60π×r2

360

=2

3

r²-πr²．
故选C．

点评：本题考查的是正多边形和圆，熟知正六边形的性质是解答此题的关键．