Question

17．如图，在△ABC中，∠ACB=111°，AC边上的垂直平分线交AB于点D，交AC边于点E，连接CD．
（1）若AB=15，BC=8，求△BCD的周长；
（2）若AD=BC，试求∠A的度数．

Answer 1

分析 （1）根据线段垂直平分线的性质，可得CD的长，根据三角形的周长公式，可得答案；
（2）根据线段垂直平分线的性质，可得CD的长，根据等腰三角形的性质，可得∠B与∠CDB的关系，根据三角形外角的性质，可得∠CDB与∠A的关系，根据三角形内角和定理，可得答案．

解答 解：（1）∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=CD．
∵C_△BCD=BC+BD+CD=BC+BD+AD=BC+AB，
又∵AB=15，BC=8，
∴C_△BCD=23；
（2）∵AD=CD
∴∠A=∠ACD，设∠A=x，
∵AD=CB，
∴CD=CB，
∴∠CDB=∠CBD．
∵∠CDB是△ACD的外角，
∴∠CDB=∠A+∠ACD=2x，
∵∠A、∠B、∠ACB是三角形的内角，
∵∠A+∠B+∠ACB=180°，
∴x+2x+111°=180°，
解得x=23°
∴∠A=23°．

点评 本题考查了线段垂直平分线的性质，（1）利用线段垂直平分线的性质得出DC与AD的关系，把三角形的周长转化成AB+BC是解题关键，（2）利用等腰三角形的性质，三角形外角的性质得出∠B与∠A的关系是解题关键．