Question

14．对于一切正整数n，关于x的一元二次方程x²-（n+3）x-3n²=0的两个根记为a_n、b_n，则$\frac{1}{{（{a_1}-3）（{b_1}-3）}}$+$\frac{1}{{（{a_2}-3）（{b_2}-3）}}$+…+$\frac{1}{{（{a_9}-3）（{b_9}-3）}}$=-$\frac{3}{10}$．

Answer 1

分析 由根与系数的关系得a_n+b_n=n+3，a_n•b_n=-3n²，所以（a_n-3）（b_n-3）=a_nb_n-3（a_n+b_n）+9=-3n²-3（n+3）+9=-3n（n+1），则$\frac{1}{（{a}_{n}-3）（{b}_{n}-3）}$=$\frac{1}{-3n（n+1）}$=-$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），然后代入即可求解．

解答 解：由根与系数的关系得a_n+b_n=n+3，a_n•b_n=-3n²，
所以（a_n-3）（b_n-3）=a_nb_n-3（a_n+b_n）+9=-3n²-3（n+3）+9=-3n（n+1），
则$\frac{1}{（{a}_{n}-3）（{b}_{n}-3）}$=$\frac{1}{-3n（n+1）}$=-$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴原式=-$\frac{1}{3}$（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{9}$-$\frac{1}{10}$）
=-$\frac{1}{3}$×（1-$\frac{1}{10}$）
=-$\frac{1}{3}$×$\frac{9}{10}$
=-$\frac{3}{10}$，
故答案为：-$\frac{3}{10}$

点评 本题考查了根与系数的关系，关键是根据根与系数的关系求出一般形式再进行代入求值．