Question

12．如图，AB是⊙O的直径，BD，CD分别是过⊙O上点B，C的切线，且∠BDC=120°，连接AC．
（1）求∠A的度数；
（2）若点D到BC的距离为2，那么⊙O的半径是多少？

Answer 1

分析 （1）首先连接OC，由BD，CD分别是过⊙O上点B，C的切线，可求得∠BOC的度数，然后由圆周角定理，求得答案；
（2）首先求得∠DCB与∠DBC的度数，然后过点D作DE⊥BC，垂足为E，则DE=2，即可求得BE的长，继而求得BC的长，然后由（1）可知△OBC为等边三角形，即可求得答案．

解答 解：（1）连接OC，
∵BD，CD分别是过⊙O上点B，C的切线，
∴OC⊥CD，OB⊥BD，
∴∠OCD=∠OBD=90°，
∵∠BDC=120°，
∴∠BOC=360°-∠OCD-∠BDC-∠OBD=60°，
∴∠A=$\frac{1}{2}$∠BOC=30°；

（2）∵BD，CD分别是过⊙O上点B，C的切线，
∴DC=DB，
∴∠DCB=∠DBC=$\frac{1}{2}$（180°-120°）=30°，
过点D作DE⊥BC，垂足为E，则DE=2，
∵∠DBC=30°，
∴BD=2DE=4，
在直角△DEB中，$BE=\sqrt{{4^2}-{2^2}}=2\sqrt{3}$，
∴BC=2BE=$4\sqrt{3}$，
由（1）可知△OBC为等边三角形，
∴OB=BC=$4\sqrt{3}$，
∴⊙O的半径是$4\sqrt{3}$．

点评 此题考查了切线的性质、圆周角定理以及勾股定理等知识．注意准确作出辅助线是解此题的关键．