Question

9．如图，线段AB的长为20，点D在AB上，△ACD是边长为8的等边三角形，过点D作与CD垂直的射线DP，过DP上一动点G（不与D重合）作矩形CDGH，记矩形CDGH的对角线交点为O，连接OB，则线段BO的最小值为（　　）

• A． 10
• B． 6
• C． 8$\sqrt{3}$
• D． 6$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 连接AO，根据矩形对角线相等且互相平分得：OC=OD，再证明△ACO≌△ADO，则∠OAB=30°；点O一定在∠CAB的平分线上运动，根据垂线段最短得：当OB⊥AO时，OB的长最小，根据直角三角形30度角所对的直角边是斜边的一半得出结论．

解答 解：连接AO，
∵四边形CDGH是矩形，
∴CG=DH，OC=$\frac{1}{2}$CG，OD=$\frac{1}{2}$DH，
∴OC=OD，
∵△ACD是等边三角形，
∴AC=AD，∠CAD=60°，
在△ACO和△ADO中$\left\{\begin{array}{l}{AC=AC}\\{AO=AO}\\{CO=DO}\end{array}\right.$，
∴△ACO≌△ADO（SSS），
∴∠OAB=∠CAO=$\frac{1}{2}$×60°=30°，
∴点O一定在∠CAB的平分线上运动，所以当OB⊥AO时，OB的长最小，
∵∠OAB=30°，∠AOB=90°，
∴OB=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×20=10（cm），
即OB的最小值为10cm，
故选：A．

点评 本题考查了矩形的性质、全等三角形的性质和判定、含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，利用了矩形对角线相等且平分的性质得对角线的一半相等，为三角形全等用铺垫；另外还利用了垂线段最短解决了求最值问题．