Question

等边△ABC中，D在AB上，E在BC延长线上，AD=CE，DE交AC于G．求证：点G是DE中点．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：过点D作DF∥BC交AC于F，根据两直线平行，内错角相等可得∠FDG=∠E，判断出△ADF是等边三角形，根据等边三角形的性质可得AD=DF，再求出DF=CE，然后利用“角角边”证明△DFG和△ECG全等，根据全等三角形对应边相等可得DG=EG，再根据线段中点的定义证明即可．

解答： 证明：如图，过点D作DF∥BC交AC于F，
则∠FDG=∠E，
∵△ABC的等边三角形，
∴∠A=∠B=∠ACB=60°，
∵DF∥BC，
∴∠ADF=∠AFD=60°，
∴△ADF是等边三角形，
∴AD=DF，
∵AD=CE，
∴DF=CE，
在△DFG和△ECG中，

∠FDG=∠E ∠DGF=∠EGC DF=CE

，
∴△DFG≌△ECG（AAS），
∴DG=EG，
∴点G是DE中点．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，作辅助线构造出全等三角形和等边三角形是解题的关键，也是本题的难点．