Question

15．如图，以任意△ABC的边AB和AC向形外作等腰Rt△ABD和等腰Rt△ACE，F、G分别是线段BD和CE的中点，则$\frac{CD}{FG}$的值等于（　　）

• A． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\frac{3}{2}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 取BC的中点H，连接BE、FH、GH，求出∠BAE=∠DAC，然后利用“边角边”证明△ABE和△ADC全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=CD，全等三角形对应角相等可得∠ABE=∠ADC，然后求出BE⊥CD，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得FH∥CD且FH=$\frac{1}{2}$CD，GH∥BE且GH=$\frac{1}{2}$BE，然后求出△HFG是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得$\frac{FH}{FG}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，然后求出$\frac{CD}{FG}$的值即可．

解答 解：如图，取BC的中点H，连接BE、FH、GH，
∵∠BAD=∠CAE=90°，
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，
即∠BAE=∠DAC，
在△ABE和△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠BAE=∠DAC}\\{AC=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADC（SAS），
∴BE=CD，∠ABE=∠ADC，
∴∠BDC+∠DBE=∠BDA+∠ABD=90°，
∴BE⊥CD，
又∵F、G分别是线段BD和CE的中点，
∴FH、GH分别是△BCD和△BCE的中位线，
∴FH∥CD且FH=$\frac{1}{2}$CD，GH∥BE且GH=$\frac{1}{2}$BE，
∴△HFG是等腰直角三角形，
∴$\frac{FH}{FG}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{CD}{FG}$=$\sqrt{2}$．
故选B．

点评 本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，等腰直角三角形的判断与性质，全等三角形的判断与性质，难点在于作辅助线构造出全等三角形和等腰直角三角形．