Question

10．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，直线y=-x+4经过B，C两点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在BC上方的抛物线上有一动点P．
①如图1，当点P运动到某位置时，以BP，BO为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上，求出此时点P的坐标；
②如图2，过点O，P的直线y=kx交BC于点D，若PD：OD=3：8，求k的值．

Answer 1

分析 （1）根据自变量与函数值的对应关系，可得B，C点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）①根据平行四边形的对边平行且相等，可得PQ=4，根据函数值相等的点关于对称轴对称，可得P点坐标；
②根据相似三角形的判定与性质，可得PE的长，再根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得关于m的方程，根据解方程，可得m的值，可得P点坐标，根据待定系数法，可得答案．

解答 解：（1）y=-x+4当x=0时，y=4，C点坐标是（0，4），当y=0时，x=4，即B点坐标是（4，0），
将B、C点的坐标代入抛物线，得$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}×{4}^{2}+4b+c=0}\\{c=4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{c=4}\end{array}\right.$，
抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+x+4；
（2）①如图1，

y=-$\frac{1}{2}$x²+x+4的对称轴是x=1，
∵以BP、BO为邻边的平行四边形的第四个顶点Q恰好在抛物线上，
∴PQ∥BO，PQ=BO=4．
∵P，Q都在抛物线上，
∴P，Q关于直线x=1对称，
∴P点的横坐标是3，当x=3时，y=-$\frac{1}{2}$x²+x+4=$\frac{5}{2}$，P点的坐标是（3，$\frac{5}{2}$）；
②过P作PE∥OC交BC于点E，如图2，

∵PE∥OC，
∴△PDE∽△ODC，
∴$\frac{PD}{OD}$=$\frac{PE}{OC}$，$\frac{PD}{OD}$=$\frac{3}{8}$，OC=4，
∴PE=$\frac{3}{2}$．
设点E的坐标为（m，-m+4），P（m，-$\frac{1}{2}$m²+m+4），
∴-$\frac{1}{2}$m²+m+4-（-m+4）=$\frac{3}{2}$，化简，得
m²-4m+3=0，
解得m₁=1，m₂=3．
当m=1时，P点坐标是（1，$\frac{9}{2}$），将P点坐标代入解析式，得
k=$\frac{9}{2}$，
当m=3时，P点坐标是（3，$\frac{5}{2}$），将P点坐标代入解析式，得
k=$\frac{5}{6}$，
∴k=$\frac{9}{2}$或k=$\frac{5}{6}$．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用平行四边的性质得出PQ的长是解题关键，又利用了函数的对称性；利用相似三角形的判定与性质得出关于m的方程是解题关键．