Question

已知：如图，∠MAN为锐角，AD平分∠MAN，点B，点C分别在射线AM和AN上，AB=AC．
（1）若点E在线段CA上，线段EC的垂直平分线交直线AD于点F，直线BE交直线AD于点G，求证：∠EBF=∠CAG；
（2）若（1）中的点E运动到线段CA的延长线上，（1）中的其它条件不变，猜想∠EBF与∠CAG的数量关系并证明你的结论．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,角平分线的性质,线段垂直平分线的性质

专题：

分析：（1）如图1，连接EF、CF，由中垂线的性质就可以得出EF=CF．就有∠FEC=∠FCE，由△AFB≌△AFC就可以得出∠ABF=∠ACF，由∠FEC+∠FEA=180°就可以得出∠ABF+∠AEF=180°，得出A、B、F、E四点共圆，近而得出∠EBF=∠CAG；
（2）如图2，连接EF、CF，由中垂线的性质就可以得出EF=CF．就有∠FEC=∠FCE，由△AFB≌△AFC就可以得出∠ABF=∠ACF，就有∠AEF=∠ABF，近而得出A、B、F、E四点共圆，就有∠EBF=∠FAC；从而得出∠EBF+∠CAG=180°．

解答：解：（1）如图1，连接EF、CF，
∵EC的垂直平分线交直线AD，
∴EF=CF，
∴∠FEC=∠FCE．
∵AD平分∠MAN，
∴∠BAF=∠CAF．
在△AFB和△AFC中

AB=AC ∠BAF=∠CAF AF=AF

∴△AFB≌△AFC（SAS），
∴∠ABF=∠ACF，
∴∠ABF=∠FCE．
∵∠FEC+∠FEA=180°，
∴∠ABF+∠AEF=180°，
∴A、B、F、E四点共圆，
∴∠EBF=∠CAG；
（2）∠EBF+∠CAG=180°
理由：如图2，连接EF、CF，
∵EC的垂直平分线交直线AD，
∴EF=CF，
∴∠FEC=∠FCE．
∵AD平分∠MAN，
∴∠BAF=∠CAF．
在△AFB和△AFC中

AB=AC ∠BAF=∠CAF AF=AF

∴△AFB≌△AFC（SAS），
∴∠ABF=∠ACF，
∴∠ABF=∠FCE．
∴A、B、F、E四点共圆，
∴∠EBF=∠FAC．
∵∠FAC+∠CAG=180°，
∴∠EBF+∠CAG=180°．

点评：本题考查角平分线的性质的运用，中垂线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，四点共圆的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．