Question

如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=4，E为AB上一点，AE=1，M为射线AD上一动点，AM=a（a为大于0的常数），直线EM与直线CD交于点F，过点M作MG⊥EM，交直线BC于点G．
（1）若M为边AD中点，求证△EFG是等腰三角形；
（2）若点G与点C重合，求线段MG的长；
（3）请用含a的代数式表示△EFG的面积S，并指出S的最小整数值．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：几何综合题,压轴题

分析：（1）利用△MAE≌△MDF，求出EM=FM，再由MG⊥EM，得出EG=FG，所以△EFG是等腰三角形；
（2）利用勾股定理EM²=AE²+AM²，EC²=BE²+BC²，得出CM²=EC²-EM²，利用线段关系求出CM．再△MAE∽△CDM，
求出a的值，再求出CM．
（3）①当点M在AD上时，②：①当点M在AD的延长线上时，作MN⊥BC，交BC于点N，先求出EM，再利用△MAE∽△MDF求出FM，得到EF的值，再由△MNG∽△MAE得出MG的长度，然后用含a的代数式表示△EFG的面积S，指出S的最小整数值．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠MDF=90°，
∵M为边AD中点，
∴MA=MD
在△MAE和△MDF中，

∠A=∠MDF MA=MD ∠AME=∠DMF

∴△MAE≌△MDF（ASA），
∴EM=FM，
又∵MG⊥EM，
∴EG=FG，
∴△EFG是等腰三角形；

（2）解：如图1，

∵AB=3，AD=4，AE=1，AM=a
∴BE=AB-AE=3-1=2，BC=AD=4，
∴EM²=AE²+AM²，EC²=BE²+BC²，
∴EM²=1+a²，EC²=4+16=20，
∵CM²=EC²-EM²，
∴CM²=20-1-a²=19-a²，
∴CM=

19-a2

．
∵AB∥CD，
∴∠AEM=∠MFD，
又∵∠MCD+∠MFD=90°，∠AME+∠AEM=90°，
∴∠AME=∠MCD，
∵∠MAE=∠CDM=90°，
∴△MAE∽△CDM，
∴

DM

AE

=

CD

AM

，即

4-a

1

=

3

a

，
解得a=1或3，
代入CM=

19-a2

．
得CM=3

2

或

10

．
（3）解：①当点M在AD上时，如图2，作MN⊥BC，交BC于点N，

∵AB=3，AD=4，AE=1，AM=a
∴EM=

AE2+AM2

=

1+a2

，MD=AD-AM=4-a，
∵∠A=∠MDF=90°，∠AME=∠DMF，
∴△MAE∽△MDF
∴

AM

DM

=

EM

FM

，
∴

a

4-a

=

1+a2

FM

，
∴FM=

4-a

a

1+a2

，
∴EF=EM+FM=

1+a2

+

4-a

a

1+a2

=

4

a

1+a2

，
∵AD∥BC，
∴∠MGN=∠DMG，
∵∠AME+∠AEM=90°，∠AME+∠DMG=90°，
∴∠AME=∠DMG，
∴∠MGN=∠AEM，
∵∠MNG=∠MAE=90°，
∴△MNG∽△MAE
∴

AM

MN

=

EM

MG

，
∴

a

3

=

1+a2

MG

，
∴MG=

3

a

1+a2

，
∴S=

1

2

EF•MG=

1

2

×

4

a

1+a2

×

3

a

1+a2

=

6

a2

+6，
即S=

6

a2

+6，
当a=

6

时，S有最小整数值，S=1+6=7．
②当点M在AD的延长线上时，如图3，作MN⊥BC，交BC延长线于点N，

∵AB=3，AD=4，AE=1，AM=a
∴EM=

AE2+AM2

=

1+a2

，MD=a-4，
∵DC∥AB，
∴△MAE∽△MDF
∴

AM

DM

=

EM

FM

，
∴

a

a-4

=

1+a2

FM

，
∴FM=

a-4

a

1+a2

，
∴EF=EM-FM=

1+a2

-

a-4

a

1+a2

=

4

a

1+a2

，
∵∠AME+∠EMN=90°，∠NMG+∠EMN=90°，
∴∠AME=∠NMG，
∵∠MNG=∠MAE=90°，
∴△MNG∽△MAE
∴

AM

MN

=

EM

MG

，
∴

a

3

=

1+a2

MG

，
∴MG=

3

a

1+a2

，
∴S=

1

2

EF•MG=

1

2

×

4

a

1+a2

×

3

a

1+a2

=

6

a2

+6，
即S=

6

a2

+6，
当a＞4时，S没有整数值．
综上所述当a=

6

时，S有最小整数值，S=1+6=7．

点评：本题主要考查了四边形的综合题，解题的关键是利用三角形相似求出线段的长度．