Question

如图1，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，P、E分别在AB、AC边上，且PB=EB，连接PD，N为PD的中点，连接AN、EN．
（1）求证：AN⊥EN；
（2）如图2，连接AC，过点E作EF⊥AC，F为垂足，连接NF，试判定线段AF、EF与NF的数量关系，并给予证明．

Answer 1

考点：菱形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）延长AN交CD于G，连接AE，GE，PE，根据菱形的性质，通过ASA证明△APN≌△GDN，过SAS证明△APE≌△ECG，再根据全等三角形的性质和等腰三角形三线合一的性质即可求解；
（2）首先得到

AN

EN

=

1

3

，作QN⊥NF于N交AF于点Q，根据相似三角形的判定和性质，由AQ+FQ=AF即可得到线段AF、EF与NF的数量关系．

解答：（1）证明：如图1，延长AN交CD于G，连接AE，GE，PE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD，AB∥CD，
∴∠APN=∠NDG，
在△APN与△GDN中

∠APN=∠NDG PN=DN ∠ANP=∠GND

∴△APN≌△GDN（ASA）
∴AN=GN，AP=DG，
∴PB=CG，
∵∠ABC=60°，PB=EB，
∴△PBE是等边三角形，
∴PE=PB，
∴PE=CG，
在△APE△ECG中

AP=EC ∠APE=∠ECG PE=CG

∴△APE≌△ECG（SAS），
∴AE=GE，
又∵AN=GN，
∴AN⊥EN，

（2）由（1）知∠GEC=∠BAE
又∵∠BAE+∠BEA=120°
∴∠GEC+∠BEA=120°
∴∠AEG=60°
∴

AN

EN

=

1

3

如图2，作QN⊥NF于N交AF于点Q
∵AN⊥EN，EF⊥AC，
∴∠ANE=∠AFE=∠QNF=90°
∴∠QAN=FEN，∠ANQ=∠ENF，
∴△AQN∽△EFN，
∴

AQ

EF

=

NQ

NF

=

AN

EN

=

1

3

，
∴AQ=

3

3

EF，NQ=

3

3

NF，
∴FQ=

2 3

3

NF
∵AQ+FQ=AF，
∴

3

3

EF+

2 3

3

NF=AF，即EF+2NF=

3

AF．

点评：考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形三线合一的性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，综合性较强，有一定的难度．