Question

【题目】如图，已知抛物线与x轴交于A、轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．

（1）求抛物线的表达式；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+x+2（2）P1（，4），P2（， ），P3（，﹣）.（3）四边形CDBF的面积最大=，E（2，1）

【解析】试题分析：（1）把A（﹣1，0），C（0，2）代入y=﹣x2+mx+n，然后解方程组即可；（2）先确定出抛物线的对称轴x=，然后△PCD是以CD为腰的等腰三角形分情况讨论即可，（3）求出点B的坐标（4，0），然后求出直线BC的解析式，过点C作CM⊥EF于M，设E（a，﹣a+2），F（a，﹣a2+a+2），然后用a表示出四边形CDBF的面积，利用配方法化为顶点式，利用二次函数的性质可解决问题.

试题解析：（1）∵抛物线y=﹣x2+mx+n经过A（﹣1，0），C（0，2）．

解得： ，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2 ；

（2）：y=﹣x2+x+2；∴抛物线的对称轴是x=．

∴OD=．

∵C（0，2），∴OC=2．

在Rt△OCD中，由勾股定理，得

CD=

∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形，

∴CP1=CP2=CP3=CD．

作CH⊥x轴于H，

∴HP1=HD=2，∴DP1=4．

∴P1（，4），P2（， ），P3（，﹣）.

（3）当y=0时，0=﹣x2+x+2

∴x1=﹣1，x2=4，

∴B（4，0）．

设直线BC的解析式为y=kx+b，由图象，得，解得： ，

∴直线BC的解析式为：y=﹣x+2．

如图2，过点C作CM⊥EF于M，

设E（a，﹣ a+2），F（a，﹣a2+a+2），

∴EF=﹣a2+a+2﹣（﹣a+2）=﹣a2+2a（0≤x≤4）．

∵S四边形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF=BDOC+EFCM+EFBN，

=+a（﹣a2+2a）+（4﹣a）（﹣a2+2a），

=﹣a2+4a+（0≤x≤4）．

=﹣（a﹣2）2+

∴a=2时，S四边形CDBF的面积最大=，

∴E（2，1）