Question

16．如图，已知AB是半圆O的直径，点P是半圆上一点，连结BP，并延长BP到点C，使PC=PB，连结AC．
（1）求证：AB=AC．
（2）若AB=4，∠ABC=30°．
①求弦BP的长．②求阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）连接AP，由圆周角定理可知∠APB=90°，故AP⊥BC，再由PC=PB即可得出结论；
（2）①先根据直角三角形的性质求出AP的长，再由勾股定理可得出PB的长；
②连接OP，根据直角三角形的性质求出△PAB的度数，由圆周角定理求出∠POB的长，根据S_阴影=S_扇形BOP-S_△POB即可得出结论．

解答 （1）证明：连接AP，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠APB=90°，
∴AP⊥BC．
∵PC=PB，
∴△ABC是等腰三角形，即AB=AC；

（2）解：①∵∠APB=90°，AB=4，∠ABC=30°，
∴AP=$\frac{1}{2}$AB=2，
∴BP=$\sqrt{{AB}^{2}-{AP}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$；

②连接OP，
∵∠ABC=30°，
∴∠PAB=60°，
∴∠POB=120°．
∵点O时AB的中点，
∴S_△POB=$\frac{1}{2}$S_△PAB=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$AP•PB=$\frac{1}{4}$×2×2$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，
∴S_阴影=S_扇形BOP-S_△POB
=$\frac{120π×{2}^{2}}{360}$-$\sqrt{3}$
=$\frac{4}{3}$π-$\sqrt{3}$．

点评 本题考查的是扇形面积的计算，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．