题目内容
17．如图，抛物线y=ax2+bx-5与x轴相交于A（1，0），B（5，0），与y轴相交于点C，对称轴与x轴相交于点M．P是抛物线上一个动点（点P、M、C不在同一条直线上），分别过点A、B作AD⊥CP，BE⊥CP，垂足分别为点D、E，连接MD、ME．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P在第一象限内，使S△PAB=S△PAC，求点P的坐标；
（3）点P在运动过程中，△MDE能否为等腰直角三角形？若能，求出此时点P的坐标；若不能，请说明理由．
分析 （1）将点A、B的坐标代入抛物线的解析式，可求得a=-1，b=6，从而可求得抛物线的解析式；
（2）设点P的坐标为（a，-a2+6a-5），然后求得直线CP的解析式为y=（6-a）x-5，令y=0，从而可求得直线CP与x轴的交点坐标，最后根据S△PAB=S△PAC列出关于a的方程，从而可求得a=4；
（3）当∠MED=90°时，点E，B，M在一条直线上，此种情况不成立，同理当∠MDE=90°时，不成立，当∠DME=90°时，设直线PC与对称轴交于点N，首先证明△ADM≌△NEM，得到MN=AM，从而求得点N坐标为（3，2）；其次利用点N、点C坐标，求出直线PC的解析式；最后联立直线PC与抛物线的解析式，求出点P的坐标．
解答 解：（1）∵将点A、B的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{a+b-5=0}\\{25a+5b-5=0}\end{array}\right.$，解得：a=-1，b=6，
∴抛物线的解析式为y=-x2+6x-5．
（2）如图1所示：记PC与x轴的交点为F．
∵令x=0，得y=-5，
∴C（0，-5）．
设直线PC的解析式为y=kx-5，点P的坐标为（a，-a2+6a-5）．
将点P的坐标代入PC的解析式得：ka=-a2+6a-5．
解得：a=0（舍去），k=6-a．
∴直线PC的解析式为y=（6-a）x-5．
令y=0得：（6-a）x-5=0．
解得：x=$\frac{5}{6-a}$．
∴点F的坐标（$\frac{5}{6-a}$，0）．
∵S△PAB=S△PAC，
∴$\frac{1}{2}$（$\frac{5}{6-a}$-1）（-a2+6a-5+5）=$\frac{1}{2}×4$×（-a2+6a-5）．
解得：整理得：a2-5a+4=0．
解得：a=1（舍去），a=4．
当a=4时，-a2+6a-5=-16+24-5=3．
∴点P的坐标为（4，3）．
（3）∵抛物线解析式为y=-x2+6x-5，
∴对称轴是直线x=3．
∴M（3，0）．
①当∠MED=90°时，点E，B，M在一条直线上，此种情况不成立；
②同理：当∠MDE=90°时，不成立；
③当∠DME=90°时，如图2所示：
设直线PC与对称轴交于点N，
∵EM⊥DM，MN⊥AM，
∴∠EMN=∠DMA．
∵∠MDE=45°，∠EDA=90°，
∴∠MDA=135°．
∵∠MED=45°，
∴∠NEM=135°．
∴∠ADM=∠NEM=135°．
在△ADM与△NEM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EMN=∠DMA}\\{EM=DM}\\{∠ADM=∠NEM=135°}\end{array}\right.$，
∴△ADM≌△NEM（ASA）．
∴MN=MA．
∴MN=MA=2，
∴N（3，2）．
设直线PC解析式为y=kx+b，将点N（3，2），C（0，-5）代入直线的解析式得；$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=2}\\{b=-5}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{7}{3}}\\{b=-5}\end{array}\right.$．
∴直线PC的解析式为y=$\frac{7}{3}$x-5．
将y=$\frac{7}{3}$x-5代入抛物线解析式得：$\frac{7}{3}$x-5=-x2+6x-5，解得：x=0或x=$\frac{11}{3}$，
当x=0时，交点为点C；当x=$\frac{11}{3}$时，y=$\frac{7}{3}$x-5=$\frac{32}{9}$．
∴P（$\frac{11}{3}$，$\frac{32}{9}$）．
综上所述，△MDE能成为等腰直角三角形，此时点P坐标为（$\frac{11}{3}$，$\frac{32}{9}$）．
点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数和二次函数的解析式、等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质和判定，证得△ADM≌△NEM（ASA），从而得到点N的坐标是解题的关键．
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