Question

16．如图（1），菱形ABCD对角线AC、BD的交点O是四边形EFGH对角线FH的中点，四个顶点A、B、C、D分别在四边形EFGH的边EF、FG、GH、HE上．
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；
（2）如图（2）若四边形EFGH是矩形，当AC与FH重合时，已知$\frac{AC}{BD}=2$，且菱形ABCD的面积是20，求矩形EFGH的长与宽．

Answer 1

分析 （1）根据菱形的性质可得出OA=OC，OD=OB，再由中点的性质可得出OF=OH，结合对顶角相等即可利用全等三角形的判定定理（SAS）证出△AOF≌△COH，从而得出AF∥CH，同理可得出DH∥BF，依据平行四边形的判定定理即可证出结论；
（2）设BD=m（m＞0），则AC=2m，结合矩形的面积为20即可求出m=2$\sqrt{5}$，进而得出AC、BD的长度，再由勾股定理即可得出AB的长度，由四边形EFGH为矩形即可得出△AOB∽△AGC，根据相似比即可得出$\frac{OB}{CG}=\frac{OA}{AG}=\frac{AB}{AC}$，代入数据，此题得解．

解答 （1）证明：∵点O是菱形ABCD对角线AC、BD的交点，
∴OA=OC，OD=OB，
∵点O是线段FH的中点，
∴OF=OH．
在△AOF和△COH中，有$\left\{\begin{array}{l}{OA=OC}\\{∠AOF=∠COH}\\{OF=OH}\end{array}\right.$，
∴△AOF≌△COH（SAS），
∴∠AFO=∠CHO，
∴AF∥CH．
同理可得：DH∥BF．
∴四边形EFGH是平行四边形．
（2）设BD=m，则AC=2m，
∴S_菱形ABCD=$\frac{1}{2}$AC•BD=m²=20，
∴m=2$\sqrt{5}$，
即BD=2$\sqrt{5}$，AC=4$\sqrt{5}$．
∵四边形ABCD为菱形，
∴OB=$\frac{1}{2}$BD=$\sqrt{5}$，OA=$\frac{1}{2}$AC=2$\sqrt{5}$，
∴AB=$\sqrt{O{B}^{2}+O{A}^{2}}$=5．
∵四边形EFGH为矩形，
∴∠G=∠AOB=90°，
∴△AOB∽△AGC，
∴$\frac{OB}{CG}=\frac{OA}{AG}=\frac{AB}{AC}$，
∴CG=4，AG=8．
∴矩形EFGH的长为8，宽为4．

点评 本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定及性质、菱形的性质、矩形的性质以及相似三角形的判定及性质，解题的关键：（1）找出AF∥CH、DH∥BF；（2）找出关于m的一元二次方程．本题属于中档题，难度不大，但解题过程叫繁琐，解决该题型题目时，根据相似三角形的性质找出对应边的比例关系是关键．