Question

13．如图，直线l₁在平面直角坐标系中，直线l₁与y轴交于点A，点B（-3，3）也在直线l₁上，将点B先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点C，点C恰好也在直线l₁上．
（1）求点C的坐标和直线l₁的解析式；
（2）若将点C先向左平移3个单位长度，再向上平移6个单位长度得到点D，请你判断点D是否在直线l₁上；
（3）已知直线l₂：y=x+b经过点B，与y轴交于点E，求△ABE的面积．

Answer 1

分析 （1）根据平移的性质得到点C的坐标；把点B、C的坐标代入直线方程y=kx+b（k≠0）来求该直线方程；
（2）根据平移的性质得到点D的坐标，然后将其代入（1）中的函数解析式进行验证即可；
（3）根据点B的坐标求得直线l₂的解析式，据此求得相关线段的长度，并利用三角形的面积公式进行解答．

解答 解：（1）∵B（-3，3），将点B先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点C，
∴-3+1=-2，3-2=1，
∴C的坐标为（-2，1），
设直线l₁的解析式为y=kx+c，
∵点B、C在直线l₁上，
∴代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-3k+c=3}\\{-2k+c=1}\end{array}\right.$
解得：k=-2，c=-3，
∴直线l₁的解析式为y=-2x-3；

（2）∵将点C先向左平移3个单位长度，再向上平移6个单位长度得到点D，C（-2，1），
∴-2-3=-5，1+6=7，
∴D的坐标为（-5，7），
代入y=-2x-3时，左边=右边，
即点D在直线l₁上；

（3）把B的坐标代入y=x+b得：3=-3+b，
解得：b=6，
∴y=x+6，
∴E的坐标为（0，6），
∵直线y=-2x-3与y轴交于A点，
∴A的坐标为（0，-3），
∴AE=6+3=9，
∵B（-3，3），
∴△ABE的面积为$\frac{1}{2}$×9×|-3|=13.5．

点评 本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，平移的性质，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积的应用，能理解每个点的求法是解此题的关键．