Question

14．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2，P是AB边上一动点，PD⊥AC于点D，点E在P的右侧，且PE=1，连结CE．P从点A出发，沿AB方向运动，当E到达点B时，P停止运动．在整个运动过程中，图中阴影部分面积S₁+S₂的大小变化情况是（　　）

• A． 一直减小
• B． 一直不变
• C． 先增大后减小
• D． 先减小后增大

Answer 1

分析 设PD=x，AB边上的高为h，想办法求出AD、h，构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．

解答 解：在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=4，BC=2，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，设PD=x，AB边上的高为h，
h=$\frac{AC•BC}{AB}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∵PD∥BC，
∴$\frac{PD}{BC}$=$\frac{AD}{AC}$，
∴AD=2x，AP=$\sqrt{5}$x，
∴S₁+S₂=$\frac{1}{2}$•2x•x+$\frac{1}{2}$（2$\sqrt{5}$-1-$\sqrt{5}$x）•$\frac{4\sqrt{5}}{5}$=x²-2x+4-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=（x-1）²+3-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴当0＜x＜1时，S₁+S₂的值随x的增大而减小，
当1≤x≤2时，S₁+S₂的值随x的增大而增大．
故选D．

点评 本题考查动点问题的函数图象、三角形面积，平行线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是构建二次函数，学会利用二次函数的增减性解决问题，属于中考常考题型．