Question

6．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，若AB=1，BC=2，CD=$\sqrt{5}$，AD=$\sqrt{10}$，则BD的长为$\sqrt{13}$．

Answer 1

分析 作DM⊥BC，交BC延长线于M，连接AC，由勾股定理得出AC²=AB²+BC²=$\sqrt{5}$，求出AC²+CD²=AD²，由勾股定理的逆定理得出△ACD是直角三角形，∠ACD=90°，证出∠ACB=∠CDM，得出△ABC∽△CMD，由相似三角形的对应边成比例求出CM，DM，再由勾股定理求出BD即可．

解答 解：作DM⊥BC，交BC延长线于M，连接AC，如图所示：
则∠M=90°，
∴∠DCM+∠CDM=90°，
∵∠ABC=90°，AB=1，BC=2，
∴AC²=AB²+BC²=5，
∵CD=$\sqrt{5}$，AD=2$\sqrt{5}$，
∴AC²+CD²=AD²，
∴△ACD是直角三角形，∠ACD=90°，
∴∠ACB+∠DCM=90°，
∴∠ACB=∠CDM，
∵∠ABC=∠M=90°，
∴△ABC∽△CMD，
∴$\frac{AB}{CM}$=1，
∴CM=AB=1，DM=BC=2，
∴BM=2+2=3，
∴BD=$\sqrt{B{M}^{2}+D{M}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
故答案为：$\sqrt{13}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、勾股定理的逆定理；熟练掌握相似三角形的判定与性质，证明由勾股定理的逆定理证出△ACD是直角三角形是解决问题的关键．