Question

如图所示，E是正方形ABCD的边BC上一点，F是DC的延长线上一点，且∠BAE=∠FAE，求证：BE+DF=AF．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰三角形的判定与性质,正方形的性质

专题：证明题

分析：延长FD到G，使DG=BE，连结AG，如图，根据正方形的性质得∠B=∠ADC=90°，AB=AD，再证明△ADG≌△ABE得到∠1=∠2，∠G=∠AEB，接着证明△FAG为等腰三角形，于是得到FA=FG=FD+DG=FD+BE．

解答：证明：延长FD到G，使DG=BE，连结AG，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B=∠ADC=90°，AB=AD，
在△ADG和△ABE中，

AD=AB ∠ASDG=∠ABE DG=BE

，
∴△ADG≌△ABE（SAS），
∴∠1=∠2，∠G=∠AEB，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠3+∠4，
∴∠G=∠3+∠4，
∵∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴∠G=∠3+∠4，即∠FAG=∠G，
∴FA=FG=FD+DG=FD+BE，
即BE+DF=AF．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．也考查了正方形的性质和等腰三角形的判定与性质．