Question

【题目】如图1,在中,,,点分别是的中点,连接.

(1)探索发现:

图1中,的值为_____________;的值为_________．

(2)拓展探究

若将绕点逆时针方向旋转一周,在旋转过程中的大小有无变化?请仅就图2的情形给出证明．

(3)问题解决

当旋转至三点在同一直线时,直接写出线段的长．

Answer 1

【答案】(1); (2)见解析 (3)或

【解析】

（1）先判断出∠AEB=90°，再判断出∠B=30°，进而的粗AE，再用勾股定理求出BE，即可得出结论；

（2）先判断出，进而得出△ACD∽△BCE，即可得出结论；

（3）分点D在线段AE上和AE的延长线上，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理，最后用线段的和差求出AD，即可得出结论．

解:

解: (1)如图1，连接AE,

∵AB=AC=2，点E分别是BC的中点，

∴AE⊥ BC,

∴∠AEC=90° ,

∵AB=AC=2，∠BAC=120° ,

∴∠B=∠C=30°,

在Rt△ABE中，AE=AB=1，根据勾股定理得，BE

∵点E是BC的中点,

∴BC=2BE

∴

∵点D是AC的中点，

∴AD=CD=AC=1,

∴

故答案为：,;

(2)无变化,理由:

由(1)知,CD=1,,

∴,

∴,

由(1)知,∠ACB=∠DCE=30°,

∴∠ACD=∠BCE,

∴△ACD∽△BCE,

∴,

(3)线段BE的长为或，理由如下：

当点D在线段AE上时,

如图2,过点C作CF⊥AE于F,∠CDF=180°﹣∠CDE=60°,

∴∠DCF=30°,

∴,

∴,

在Rt△AFC中,AC=2,根据勾股定理得,,

∴AD=AF+DF=,

由(2)知,,

∴

当点D在线段AE的延长线上时,

如图3,过点C作CG⊥AD交AD的延长线于G,

∵∠CDG=60°,

∴∠DCG=30°,

∴,

∴,

在Rt△ACG中,根据勾股定理得,,

∴,

由(2)知,,

∴

即:线段BE的长为或.