Question

【题目】如图，在矩形中，点是对角线上一动点，连接，作分别交于点，于点 ．

(1)如图1，若恰好平分，求证：；

(2)如图2，若，取的中点，连接交于点 ．

求证：①；②．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②见解析

【解析】

（1）利用∠ECG＝∠BCG，∠CGE＝∠CGB，CG＝CG即可得证；

（2）①过H作HM∥BE交AC于点M，则CM：ME＝CH：HB，由点H为BC的中点，可转化得到EM＝CM，再利用HM∥BE及即可证得；

②延长BE交AD于点N，由△APN∽△HPB可得，通过证明△ABN∽△BCF可得进而可转化为．

证明：（1）∵CF平分∠BCA

∴∠ECG＝∠BCG，

∵CF⊥BE，

∴∠CGE＝∠CGB＝90°，

在Rt△CGE和Rt△CGB中，

，

∴△CGE≌△CGB（ASA）；

（2）①如图，过H作HM∥BE交AC于点M，

则CM：ME＝CH：HB，

∵点H为BC的中点，

∴CH＝BH，

∴EM＝CM，

∵，

∴，

∴，

∵HM∥BE，

∴，

∴；

②如图，延长BE交AD于点N，

∵在矩形ABCD中，AD∥BC，

∴△APN∽△HPB，

∴，

∴，

∵CF⊥BE，

∴，

∵，

∴∠BCF＝∠ABN，

∵∠FBC＝∠NAB，

∴△ABN∽△BCF，

∴，

∴，

∵点H为BC的中点，

∴，

∴，

∴．