Question

如图，已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE．连接 BD交AE于M，连接CE交AB于N，BD与CE交点为F，连接AF．
（1）如图1，求证：BD⊥CE；
（2）如图1，求证：FA是∠CFD的平分线；
（3）如图2，当AC=2，∠BCE=15°时，求CF的长．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,勾股定理,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）根据SAS即可求得△CAE≌△BAD，求得∠ACF=∠ABD．因为∠ANC=∠BNF，根据三角形的内角和定理就可求得∠BFN=∠NAC=90°，从而证得BD⊥CE；
（2）作AG⊥CE于G，AK⊥BD于K．根据三角形面积公式即可求得AG=AK．根据角的平分线的性质定理的逆定理即可证得FA是∠CFD的平分线；
（3）根据已知条件求得∠ACN=∠ACB-∠BCE=30°=∠FBN．在Rt△ACN中，通过解直角三角形从而求得AN=

2 3

3

，CN=

4 3

3

．进而求得BN=2-

2 3

3

． 在Rt△ACN中通过解直角三角形求得NF=

1

2

BN=

3- 3

3

．即可求得CF=CN+NF=1+

3

．

解答：（1）证明：如图1．
∵∠BAC=∠DAE=90°，∠BAE=∠BAE，
∴∠CAE=∠BAD．
在△CAE和△BAD中，

AC=AB ∠CAE=∠BAD AE=AD

，
∴△CAE≌△BAD（SAS），
∴∠ACF=∠ABD．
∵∠ANC=∠BNF，
∴∠BFN=∠NAC=90°．
∴BD⊥CE．                           

（2）证明：如图1，作AG⊥CE于G，AK⊥BD于K．
由（1）知△CAE≌△BAD，
∴CE=BD，S_△CAE=S_△BAD，
∴AG=AK．
∴点A在∠CFD的平分线上．       
即 FA是∠CFD的平分线．

（3）如图2．
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=45°．
∵∠BCE=15°，
∴∠ACN=∠ACB-∠BCE=30°=∠FBN．
在Rt△ACN中
∵∠NAC=90°，AC=2，∠ACN=30°，
∴AN=

2 3

3

，CN=

4 3

3

．  
∵AB=AC=2，
∴BN=2-

2 3

3

．                             
在Rt△ACN中
∵∠BFN=90°，∠FBN=30°，
∴NF=

1

2

BN=

3- 3

3

．
∴CF=CN+NF=1+

3

．

点评：本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定，角的平分线的判定等知识点，利用全等三角形得出线段相等和角相等是解题的关键．