题目内容
已知：如图，矩形ABCD中，点E是BC的中点，点F在CD上，AE是∠BAF的角平分线．（1）若AB=3，BC=4，求AE的长；
（2）求证：AF=AB+FC．
考点：全等三角形的判定与性质,角平分线的性质,矩形的性质
专题：
分析：（1）根据勾股定理即可求得AE的长．
（2）作EG⊥AF于G，根据交平分线的性质求得EB=EG，然后根据HL证得RT△ABE≌RT△AGE和RT△EFC≌RT△EFG得出AB=AG，FG=FC，从而证得结论．
（2）作EG⊥AF于G，根据交平分线的性质求得EB=EG，然后根据HL证得RT△ABE≌RT△AGE和RT△EFC≌RT△EFG得出AB=AG，FG=FC，从而证得结论．
解答：
解：（1）∵点E是BC的中点，AB=3，BC=4，
∴BE=EC=2，
∴AE=
=
=
．
（2）作EG⊥AF于G，
∵四边形ABCD是矩形，
∴EB⊥AB，
∵AE是∠BAF的角平分线．
∴EB=EG，
在RT△ABE和RT△AGE中，
，
∴RT△ABE≌RT△AGE（HL），
∴AB=AG，
∵BE=CE，EB=EG，
∴EG=EC，
在RT△EFC和RT△EFG中，
，
∴RT△EFC≌RT△EFG（HL），
∴FG=FC，
∴AG+GF=AB+FC，
即AF=AB+FC．
解：（1）∵点E是BC的中点，AB=3，BC=4，∴BE=EC=2，
∴AE=
| AB2+BE2 |
| 32+22 |
| 13 |
（2）作EG⊥AF于G，
∵四边形ABCD是矩形，
∴EB⊥AB，
∵AE是∠BAF的角平分线．
∴EB=EG，
在RT△ABE和RT△AGE中，
|
∴RT△ABE≌RT△AGE（HL），
∴AB=AG，
∵BE=CE，EB=EG，
∴EG=EC，
在RT△EFC和RT△EFG中，
|
∴RT△EFC≌RT△EFG（HL），
∴FG=FC，
∴AG+GF=AB+FC，
即AF=AB+FC．
点评：本题考查了矩形的性质，角平分线的性质及其判定，三角形全等的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
练习册系列答案
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