题目内容

4．（1）如图1，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O点，过点O的直线1与边AB、CD分别交于点E、F，绕点O旋转直线1，猜想直线1旋转到什么位置时，四边形AECF是菱形．证明你的猜想；
（2）若将（1）中四边形ABCD改成矩形ABCD，使AB=4，BC=3．
①如图2，绕点O旋转直线1与边AB、CD分别交于点E、F，将矩形ABCD沿EF折叠，当点A与点C重合时，点D的对应点为D′，连接DD′，求线段DF的长；
②如图3，绕点O继续旋转直线1，使直线1与边BC或BC的延长线交于点E，连接AE，将矩形ABCD沿AE折叠，点B的对应点为B′，连接CB′得到△CEB′，当△CEB′为直角三角形时，请直接写出满足条件的线段CE的长．

分析 （1）结论：当EF⊥AC时，四边形AECF是菱形．如图1中，连接AF、CE．由△AOE≌△COF，推出AE=CF，由AE∥CF，推出四边形AECF是平行四边形，推出当EF⊥AC时，四边形AECF是菱形；
（2）①在Rt△ADC中，AC=$\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，由△COF∽△CDA，可得$\frac{CO}{CD}$=$\frac{CF}{CA}$，求出CF即可解决问题．
②分四种情形分别求解即可．

解答 解：（1）结论：当EF⊥AC时，四边形AECF是菱形．
理由：如图1中，连接AF、CE．

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，OA=OC，
∴∠DCA=∠BAC，
在△AOE和△COF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOE=∠COF}\\{OA=OC}\\{∠OAE=∠OCF}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COF，
∴AE=CF，∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴当EF⊥AC时，四边形AECF是菱形．

（2）①如图2中，

在Rt△ADC中，AC=$\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
由△COF∽△CDA，可得$\frac{CO}{CD}$=$\frac{CF}{CA}$，
∴$\frac{\frac{5}{2}}{4}$=$\frac{CF}{5}$，
∴CF=$\frac{25}{8}$，
∴DF=CD-CF=4-$\frac{25}{8}$=$\frac{7}{8}$．

②如图3中，当B′在对角线上时，△CEB′是直角三角形，易知AB′=AB=3，AC=5，CB′=1，
设EC=x，则BE=EB′=3-x，
在Rt△ECB′中，∵EC2=CB′2+EB′2，
∴12+（3-x）2=x2，
∴x=$\frac{5}{3}$，
∴CE=$\frac{5}{3}$


如图4中，当B′在CD上时，△CEB′是直角三角形，
易知DB′=$\sqrt{{4}^{2}-{3}^{2}}$=$\sqrt{7}$，CB′=4-$\sqrt{7}$，
设EC=x，则BE=EB′=3-x，
在Rt△ECB′中，∵EC2+CB′2=EB′2，
∴（4-$\sqrt{7}$）2+x2=（3-x）2，
∴x=$\frac{4\sqrt{3}-7}{3}$，
∴CE=$\frac{4\sqrt{3}-7}{3}$．


如图5中，当B′在AD的延长线上时，易知CE=DB′=AB-AD=1．


如图6中，当B′在CD的延长线上时，设EC=x，则EB=EB′=x+3，
在Rt△CEB′中，∵EB′2=EC2+CB′2，
∴（x+3）2=x2+（4+$\sqrt{7}$）2，
∴x=$\frac{7+4\sqrt{3}}{3}$，
∴CE=$\frac{7+4\sqrt{3}}{3}$，

综上所述，满足条件的CE的长为$\frac{5}{3}$或$\frac{4\sqrt{3}-7}{3}$或1或$\frac{7+4\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查四边形综合题、平行四边形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建方程解决问题，属于中考压轴题．

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