Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（-2，0），B（-1，-2），C、D在反比例函数y=

k

x

上，四边形ABCD为平行四边形，AD与y轴交于点E，BC与y轴交于点H，且四边形EBCD的面积是△ABE面积的3倍．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求四边形EHCD的面积．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：综合题

分析：（1）连结BD，由四边形EBCD的面积是△ABE面积的3倍得平行四边形ABCD的面积是△ABE面积的4倍，根据平行四边形的性质得S_△ABD=2S_△ABE，则AD=2AE，即点E为AD的中点，设E点坐标为（0，t），利用线段中点坐标公式得D点坐标为（2，2t），然后利用平移的性质得到点C（3，-2+2t），再利用反比例函数图象上点的坐标特征得k=2×2t=3×（-2+2t），解得t=3，则k=12，所以反比例函数的解析式为y=

12

x

；
（2）作CF⊥y轴于F，DM⊥y轴于M，先得到E点坐标为（0，3），D点坐标为（2，6），C点坐标为（3，4），再利用待定系数法得直线BC的解析式为y=

3

2

x-

1

2

，则H点坐标为（0，-

1

2

），然后利用四边形EHCD的面积=S_△HCF+S_梯形CDMF-S_△DME进行计算．

解答：解：（1）连结BD，如图，
∵四边形EBCD的面积是△ABE面积的3倍，
∴平行四边形ABCD的面积是△ABE面积的4倍，
∴S_△ABD=2S_△ABE，
∴AD=2AE，即点E为AD的中点，
设E点坐标为（0，t），
∵A点坐标为（-2，0），
∴D点坐标为（2，2t），
∵AB∥CD，且AB=CD，
而点A（-2，0）先向右平移4个单位，再向上平移2t个单位得到点D（2，2t），
∴点B（-1，-2）先向右平移4个单位，再向上平移2t个单位得到点C（3，-2+2t），
把D（2，2t）、C（3，-2+2t）代入y=

k

x

得k=2×2t=3×（-2+2t），解得t=3，
∴k=2×2×3=12，
∴反比例函数的解析式为y=

12

x

；

（2）作CF⊥y轴于F，DM⊥y轴于M，如图，
E点坐标为（0，3），D点坐标为（2，6），C点坐标为（3，4），
设直线BC的解析式为y=mx+n，
把B（-1，-2）、C（3，4）代入得

-m+n=-2 3m+n=4

，解得

m= 3 2 n=- 1 2

，
∴直线BC的解析式为y=

3

2

x-

1

2

，
∴H点坐标为（-

1

2

，0），
∴四边形EHCD的面积=S_△HCF+S_梯形CDMF-S_△DME=

1

2

×（4+

1

2

）×3+

1

2

×（2+3）×（6-2）-

1

2

×2×（6-3）=

55

4

．

点评：本题考查了反比例函数综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、平移的性质和平行四边形的性质；会利用待定系数法求函数解析式和三角形面积公式进行几何计算．