Question

【题目】过三角形的任意两个顶点画一条弧，若弧上的所有点都在该三角形的内部或边上，则称该弧为三角形的“形内弧”．

（1）如图，在等腰中，，．

①在下图中画出一条的形内弧；

②在中，其形内弧的长度最长为______．

（2）在平面直角坐标系中，点，，．点M为形内弧所在圆的圆心．求点M纵坐标的取值范围；

（3）在平面直角坐标系中，点，点G为x轴上一点．点P为最长形内弧所在圆的圆心，求点P纵坐标的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）①见解析；②当时，的形内弧最长，此时弧长；（2）或；（3）或．

【解析】

(1) ①根据形内弧的定义作图即可得到答案；②根据题意得到当时，的形内弧最长，再根据弧长的计算公式即可得到答案；

(2)分两种情况讨论，当圆心在x轴下方时，此时最长形内弧与线段，相切与当圆心在x轴上方时，此时最长形内弧与x轴相切分别求解即可得到答案；

(3) 当时，最长形内弧与x轴相切，根据 得到，即，再类似讨论另外几种情况，即可得到点P纵坐标的取值范围；

解：（1）①如下图所作均可以：

②根据题意得到当时，的形内弧最长，此时弧长．

（2）当圆心在x轴下方时，此时最长形内弧与线段，相切

，

∴ （相似三角形对应边成比例），

当圆心在x轴上方时，此时最长形内弧与x轴相切

，

∴ ，

∵，FO=1，FE=，

综上所述，或

（3）当时，最长形内弧与x轴相切

若xG=-4时，

，

，

；

当时，此时最长形内弧与线段相切，

解得；

当时，此时最长形内弧与线段相切，

解得；

当时，此时最长形内弧与线段相切，

解得 ，

综上所述，或；